均值不等式的推广与应用_均值不等式的推广

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1、用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

2、 引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)n≥An＋nAn－1B。

3、 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

4、 原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)n≥a1a2…an。

5、 当n＝2时易证； 假设当n＝k时命题成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak )／k)k≥a1a2…ak。

6、那么当n＝k＋1时，不妨设ak＋1是a1，a2 ，…，ak＋1中最大者，则 k ak＋1≥a1＋a2＋…＋ak。

7、 设s＝a1＋a2＋…＋ak， ((a1＋a2＋…＋ak＋1)／(k＋1))k+1 ＝(s／k＋(k ak＋1－s)／(k(k＋1)))k+1 ≥(s／k)k+1＋(k＋1)(s／k)k(k ak＋1－s)／k(k＋1) 用引理 ＝(s／k)k ak＋1 ≥a1a2…ak＋1。

8、用归纳假设。