竞价问题及拓展

题目：BV1894y1z7Xr

原视频链接：/watch?v=8xXslshomOs&list=PLJicmE8fK0EiFRt1Hm5a_7SJFaikIFW30&index=58

评论区里有一条长解答是我写的，后来越想越觉得这个问题很有意思，作为非常符合刻板印象的“分析家”忍不住考虑了一下一些拓展情况，感兴趣的朋友可以继续往下读。

(资料图片)

1. 原题解答

解这个问题需要先想清楚一点，这场对决你的劣势在于对手永远比你多一些信息，所以你唯一的思路就是利用卡位把对方逼入劣势。为便于标记，以下金宝石记为G, 银宝石记为S.

现在已知你以24颗宝石拿了G1（这个数字很微妙），很容易想到如果对手不拿G2就一定不会让你拿G3，那三颗金宝石确定归属后你需要保证对方落后于你，而且在银宝石环节开始时对应的等价获得方有优势（后面会详细解释）。因此你需要用G2+G3两轮竞拍尽可能消耗对手。

首先是G2，你必须出价。为避免对方以更小的代价拿到与你相同的宝石数，本轮你仍需要出24. 

1) 此时如果对手出24则你得到G2 (24可以把等价时的获得人换到自己), G3就直接all in 剩下的51, 对方一定会出52获得G3. 此时你剩余51, 对手剩余47（即使G3环节用掉轮转到自己的先得权也只剩48). 此后你每轮出17, 对方最多拿下2S, 而你能拿下3S获胜。

2) 如果对方想拿下G2就要出25, G3对两人都没用，那么G3直接出0, 对手也会选择出0让你得到G3, 此时你75对方74, 那么同1), 你只需要每次都出25限制对方只能拿到2S就行了。

所以各位明白24这个数字为什么微妙了吗？它恰好可以在金宝石竞拍完后把对方卡在劣势位，而从25开始，你在第一阶段的损失就多于对方了。

2. 24的微妙之处（续）

既然出25及以上行不通，先手对G1出23及以下又如何？答案是不行，如果对方是理性人，你很快就被用同样的思路拿捏了。

不失一般性，假设先手对G1的出价是23, 此时后手只需出24拿下G1. 对G2, 假如选手仍出不高于23，后手+1拿下G2, 然后用G3逼先手大出血，先手G1+G2出价越低出血越多。

如果先手对G2出价24，后手出价0让先手拿走G2. 此时先后手余额相同，但G3对两人都没用，即使先手出0，后手也可以同样出0，此时等价获得权在先手，G3会给先手，而后手会带着等价获得权进入银宝石阶段。等价获得权的重要性详见第三部分。

如果先手对G2出价25及以上就更糟糕了，不仅会失去等价先得权，余额还会落后于后手。

因此，先手最好的策略就是对G1出价24.

3. 如何优雅地使用等价获得权

以下分析基于进入第二阶段时余额相等的前提，余额不等时余额少方必输，详见第四部分。小标题含义为相等的余额值+等价获得权（记为Q，下同）所在方。

3n先手

对S1出n, 此时后手可选择：

1) 出n+1, 后手获得S1, 先手保留Q. 此后先手持续出n, 后手如果此后任何一局出了n+1以上则必定拿不到3S. 如果选择出n-1或更小，既拿不到宝石也拿不到Q。如果选择出n让先手拿到S2并拿到Q, S3和S4也至少要出一次n, 否则先手会直接3S取胜。如果出一次n, Q流回先手，此时先手对后手为(n+2S+Q):(2n-1+S)或(2n+S+Q):(n-1+2S), 前者只能再挡住一次n, 后者一次n都挡不了，都拿不到3S.

2) 出n-1或更小，先手获得S1，先手Q. 如果后续持续出n则先手先拿到3S获胜，一旦有一次出n+1及以上则必定拿不到3S.

3) 出n, 先手获得S1，后手Q. 然并卵，跟2)中持续出n一个效果。

3n后手

先手不能出n+1以上，否则余额劣势。

1) 如果先手出n, 则后手也应出n, 后续同 3).

2) 如果先手出n-1以下, 后手出等价，后续如先手Q时，如出价不到n则出+1, 如出价不低于n则出等价，后手Q思路相反。总之，保证自己所有S折算成n后的余额永远大于对方，且任意S出价不高于n.

3n+1先手

后手如果出两次n+1以上则必定拿不到3S.

对S1出n, 并在获得2S之前一直出n.

1) 如果后手在先手出n+1前出过了n+1, 则先手可以以两次n+Q和一次n+1获胜，而后手只能再拿一次n+Q.

2) 如果后手也一直出n, 先手将会在S5以n+1+Q获胜。

3n+1后手

先手如果出两次n+1以上则必定拿不到3S.

1) 如果先手对 S1出n+1或以上，出0.

2) 如果先手对S1出n或更小, 等价拿走。

3) 后续类似于 2), 先手Q时对方>=n出等价，对方n出0,<=n出等价。

3n+2先手

类似于, 先持续出n, 得到1S后出n+1.

3n+2后手

类似于，但从自己拿到1S开始把阈值上调至n+1.

4. 余额不等多者胜

第三部分的先Q优势全部建立在等余额基础上，如果余额不等，多者至少可以以多1的优势让少者的Q泡汤。以少者3n+Q, 多者3n+1为例。多者在2S之前一直出n.

1) 少者一旦出一次n+1以上，最多只能再用一次n+Q拿到1S, 此后对多者的n+n+(n+1)一点办法也没有。

2) 少者如果也一直出n, 最多以两次n+Q拿到2S, 最后就要以n面对n+1, 有Q也没意义了。

(3n+1+Q):(3n+2)/(3n+2+Q):(3n+3)两种情况可以按第三部分类推。

5. 后手的反击?

综合以上，先手对G1出了24, 那后手就没有反击之力了吗？如果先手也是理性人，确实没有！

后手等价

我们反推一下，后手对G1一个较好的出价是24, 虽然仍然得不到G1, 但可以拿到Q, 接下来的思路就是使用G2+G3拿到余额或保留Q.

如果先手对G2出24以下，后手可以直接等价带走，然后利用G3对两人都没用这一点对G3出0重新获得Q. 此时先手不仅余额不领先也没有Q, 后手获胜。如果先手出26及以上，后手直接出0，此后对G3出+1或等价，仍然是余额优势or余额同等+Q.

但如果先手对G2出25就麻烦了。此时后手可以选择

1) 出25带走G2并转移Q, 但此时二人都不需要G3, 最后两人对G3出0, 先手得到G3失去Q, 此时后手有Q但余额落后1，失败。

2) 出26以上带走G2. 这属于作死行为，只会导致余额落后+没有Q, 大失败。

3) 放弃G2, 此时如果先手对G3 all in余额50，后手至少要出50拿下G3, 无论如何都是余额劣势，失败。

后手加价

如果等价不行，后手还可以考虑出25拿下G1, 但此时Q还在先手手里。按之前的逻辑，先手一定不会出小于24的价格。如果先手对G2再出一次24, 后手可以选择

1) 出0-24, 先手获得G2，由于G3二人都不需要，此时后手的余额必处于劣势，失败。

2) 再出一次25, 后手获得G2，先手保留Q，此时后手只剩49, 而先手可以用49+Q或50换取G3, 后手要么余额落后要么等额无Q, 失败。

后手出0

……这不就是原问题？

因此，本问题先手有必胜法，即对G1出24, 如果后手出24则对G2出25, 后手出25则对G2出24, 一定可以保证带着优势进入银宝石阶段从而获胜。简单而言，可以把Q视为金额，能获胜的是进入Q2余额更多的一方。